The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by
Emil Weyr



This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under
the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or
online at http://www.gutenberg.org/license



Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter.

Author: Emil Weyr

Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817]

Language: German

Character set encoding: US-ASCII


***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.***





                                UeBER DIE

                      GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER

                           ------------------

                                VORTRAG

                            GEHALTEN IN DER

    FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

                                   AM

                         XXIX. MAI MDCCCLXXXIV

                                  VON

                             DR. EMIL WEYR

   WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                           ------------------

                                  WIEN

                AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

                 IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,

       BUCHHAeNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                                  1884






Moege mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu
entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des
Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur
Darstellung bringen soll; und moege dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit
einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen
als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden
bescheidenen, weil schwachen Kraeften entspringenden Leistung obwalten!

So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung
der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in
jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in
welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden waere. Sind
doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der
geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kuerzesten Entfernung; jene
des Mehr und Weniger bei Quantitaeten der Entfernungen, Hoehen, Neigungen,
und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in
seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen,
welche durch die Moeglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung
jene Stabilitaet erhielten, die sie befaehigte, als erste Fundamente der
geometrischen Kenntnisse zunaechst, und der Geometrie als Wissenschaft
spaeter aufzutreten.

Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den
verschiedensten Orten. Denn ueberall, wo der menschliche Geist sich zu
entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hoehe erreichte, auf
welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden
Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen
und krummen Flaechen. Denn ueberall in der Natur boten sich dem erwachenden
Menschen Repraesentanten dieser Begriffe in groesserer oder geringerer
Genauigkeit dar. Waehrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne,
sowie des vollen Mondes in suedlichen Gegenden fast taeglich das Bild der
"vollkommensten", der "schoensten" Linie, der Kreislinie vorfuehrte,
stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glaenzende
Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen
Lagenverhaeltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten
Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden
und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner naechsten
Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklaenge; das Gewebe
der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Faeden, die sechseckige
Bienenzelle, die beim Fallen eines Koerpers in ruhendes Wasser entstehenden
concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach
und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur
Beobachtung gesetzmaessiger geometrischer Formen fuehren.

Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im
Besonderen wird Aegypten angefuehrt; doch ist die Zeit laengst vorbei, wo
man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte,
vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem
Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch
praktische Beduerfnisse gezwungen war. Die Hoehe, zu welcher sich die
einzelnen Voelker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen
vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des
Beduerfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einfluesse religioeser
Verhaeltnisse ab.

Und so mag sich zunaechst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche
allen Voelkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil
auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von
Bauten ueberall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten
zu koennen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands,
mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in
dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffuehrung von Wasserbauten,
Daemmen, Canaelen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet,
nothwendig waren.

Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwaerts, so
duerfen wir nicht ueberrascht sein, dass man bei dem uns bekannten aeltesten
Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar
an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ueber
diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem
Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spaerliche zu nennen.

Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und
Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es
laesst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spaeteren auf Fruehere sich
stuetzen, und wir es moeglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte
fortgefuehrten Nachricht zu thun haben.

Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fuenften vorchristlichen
Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie
von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spaeter (393
v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter "die
Aelteren (unter ihren Priestern) ueber die wichtigsten Angelegenheiten
setzten, dagegen die Juengeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnuegens,
sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschaeftigen".

In *Platon*'s _Phaedrus_ sagt *Sokrates*: "Ich habe vernommen, zu Naukratis
in Aegypten sei einer der dortigen alten Goetter gewesen, dem auch der
Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, waehrend der Gott selbst den
Namen Teuth fuehrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden
und Geometrie und Astronomie"(3), und einen directen Hinweis finden wir
bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) "Daher
entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier
war den Priestern die dazu noethige Muesse vergoennt."

Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der
Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Kuenste zu,
worueber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste,
bemerkt: "Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der
Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso
seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften
und Kuenste erfunden worden."

Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsaechlich
diejenigen Berichte zu erwaehnen, welche sich auf die Art der
wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen.

Da sagt zunaechst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Koenige
*Sesostris* durchgefuehrte Laendereintheilung: "Auch sagten sie, dass dieser
Koenig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein
gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkuenfte bezogen
habe, indem er eine jaehrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der
Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und
das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen
hatten, um wie viel das Landstueck kleiner geworden war, damit der Inhaber
von dem uebrigen nach Verhaeltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus
erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas
kam."

Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden
Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklaerlicherweise,
vorzueglich an den einen, die Nilueberschwemmungen betreffenden Theil obiger
Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der
unmittelbare Anstoss fuer alle geometrischen Arbeiten der Aegypter
hingestellt. Und doch scheint es uns viel naeherliegend, die einerseits
behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den
Veraenderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden
Flaechenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu
erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der
Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden
Nilueberschwemmungen vorgekommenen Terrainveraenderungen mit Vortheil
benutzt worden sein moegen.

Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmueckung des, jene
Nilueberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes,
wenn man die Aufzeichnungen spaeterer Gewaehrsmaenner naeher betrachtet.

Zunaechst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezuegliche
Stelle(7): "Die frueheste Geometrie beschaeftigte sich, wie uns die alte
Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Laendereien,
woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung naemlich
ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des
Nil. Denn viele Grundstuecke, die vor der Flussschwelle offen dalagen,
verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken
desselben zum Vorschein, und es war nicht immer moeglich, ueber die
Identitaet derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den
Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes."

Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir
uebrigens auch ueber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter
belehrt werden; *Diodor* sagt: "Die Priester lehren ihre Soehne zweierlei
Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewoehnlich lernt. Mit
Geometrie und Arithmetik beschaeftigen sie sich eifrig. Denn indem der
Fluss jaehrlich das Land vielfach veraendert, veranlasst er viele und
mannigfache Streitigkeiten ueber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese
koennen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den
wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient
ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsaetzen der Geometrie;
auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde
beschaeftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und
Bewegungen der Gestirne sorgfaeltig beobachtet worden sind, so ist es bei
den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen
Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen
seit alten Zeiten her die groesste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist.
Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstaende der Planeten, auch
den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre
guten und schaedlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfaeltig beobachtet."

Am innigsten verknuepft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den
Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, "dass es
einer sorgfaeltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung
bedurfte, wegen der bestaendigen Verwuestung der Grenzen, die der Nil bei
seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt,
und die Gestalt veraendert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht,
wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man muesse
daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden
sein."

Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als
feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehoertem
die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie
beschaeftigte, waehrend eine andere, die der Feldmesser, die von den
Ersteren aufgestellten und sorgsam gehueteten geometrischen Principien
praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spaeter sehen
werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten
und Berechnungsregeln betrafen, moeglicherweise nur insoweit enthuellt, dass
bei deren Verwendung nur annaeherungsweise richtige Resultate zum Vorschein
kamen.

Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die
unlaeugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den
Nilueberschwemmungen und der aegyptischen Geometrie im Auge behaltend, die
Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprueche
in das Gebiet der Fabel verwiesen.

Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ueber die
Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten
unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse
aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen
vertraut machen zu lassen?

*Eudemus von Rhodos*(10), einer der aeltesten Peripatetiker, schrieb eine
Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11),
einen Philosophen des fuenften nachchristlichen Jahrhunderts, ein
Bruchstueck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das
uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in
den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewaehrt. Hierin heisst es
unter Anderem: "*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die
Geometrie nach Hellas hinueber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem
aber ueberlieferte er die Anfaenge seinen Nachfolgern; das Eine machte er
allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar." Hundert Jahre nach dem
Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): "Man koennte,
wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswuerdiges von der Heiligkeit
aegyptischer Priester anfuehren, welche ich weder allein noch zuerst
erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frueheren, unter
denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr
Schueler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen
verpflanzte."

Waehrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch
noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestaetiget wird, nennt uns
*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; "Die aegyptischen
Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den
heiligen Buechern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*,
*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den
Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen
*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der
Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides
von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen
Bildnisse von den Anderen Orte und Gebaeude, die nach ihnen benannt sind.
Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet
hat, fuehren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den
Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben." Aus diesen
Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten
zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu
lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Maenner angefuehrt
wurden.

Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgeruecktem Alter, und nachdem er
als Handelsmann frueher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich
daselbst behufs seiner Studien zu laengerem Aufenthalt niederlies, ist
merkwuerdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefuehrt, und koennte
man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von
Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*,
*Daidalos* und *Homer* angefuehrt erscheinen. Diese letzteren konnten
jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse
vom Berichterstatter eigenwillig beigefuegt worden sein, um dadurch das
hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen.

Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit
fuer die Exactheit obiger Aussprueche in Bezug auf einzelne Namen, duerfte
jedenfalls das als unumstoessliche Wahrheit gelten, dass die aegyptischen
Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der
Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen
Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht
verschmaehte, die, fuer damalige Verhaeltnisse nicht unbedeutende Reise nach
Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter
Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter
anzueignen.

Stellt man nun zunaechst die Frage nach Quantitaet und Qualitaet des
geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit
nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der
unmittelbar nachpythagoraeischen Geometrie, aeusserst Weniges gewesen zu
sein.

*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der
Begruender der ionischen Schule, *Thales*, welcher fuer das Jahr 585
v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen
wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in
Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Saetze ueber die Gleichheit
der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit
der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie
ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt
erscheint, diese Eroerterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf
dem Meere benuetzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen
Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hoehe der Pyramiden aus der
Laenge des Schattens gemessen haben, hoechst wahrscheinlich in dem Momente,
wo die Schattenlaenge eines senkrechten Stabes der Stablaenge gleich
ist,(17) moeglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu
einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss
des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein
rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in
Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermoeglichten, die genannten Saetze
als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen
Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann.

Es waere jedoch voreilig, aus der Geringfuegigkeit der Thaletischen
geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die
Aegypter nicht viel mehr gewusst haetten. Man kann wohl annehmen, dass die
aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenueber beobachteten
Zurueckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer koennte jedoch
bemessen, in welchem Verhaeltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen
stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter
den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen
gehueteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht
unberuecksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen
auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu
unterschaetzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht
Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur
Verfuegung stellten, unverstanden bleiben konnte.

Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den
Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierueber Klarheit
verschaffen zu koennen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus
den Anfaengen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen
zurueckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen duerfte, mit
nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint.

Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver
Natur war, aehnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21)
duerfte sich nicht als stichhaeltig erweisen; es moege jedoch gleich jetzt
darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer
Formen nicht unbewandert sein konnten.

So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420
v. Chr. G.: "Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den
Voraussetzungen zu ziehenden Schluesse hat mich keiner je uebertroffen,
selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter"; und *Theon* von
*Smyrna*(23) erzaehlt, dass "Babylonier, Chaldaeer und Aegypter eifrig nach
allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den
Erscheinungen genuegt werden koennte; zu erreichen suchten sie dies dadurch,
dass sie das frueher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ueber die
zukuenftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich
arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldaeer, die Anderen
construirender wie die Aegypter".

Aus diesen und aehnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die
Anfaenge der griechischen Geometrie selbst hauptsaechlich constructiver
Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit
unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe
der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl
einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses
System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese
Constructionen duerften ihrem groesseren Theile nach, und zwar jenem Theile
nach, welcher, wenn auch ohne Begruendung Gemeingut der die Kuenste und
Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem
praktischen Beduerfnisse dienen konnten, also zumeist
Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen
regelmaessiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemaelden, wie sie sich
z. B. als faerbige Zeichnungen aus den Zeiten der fuenften Dynastie, also
unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G.
etwa vorfinden.(24)

Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren
eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer
Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus
der Zeit von der zwoelften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine
Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, laengs der Diagonale
centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine
Zusammenstellung von um fuenfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten,
sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in
gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunaechst durch zwei oder vier
Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spaeteren Zeiten auch
durch sechs Durchmesser in zwoelf gleiche Ausschnitte; die in den
Zeichnungen vorkommenden Wagenraeder besitzen zumeist sechs, seltener vier
Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in
sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint.

In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater
*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab
*Belzoni*)(25) finden wir die Waende behufs Anbringung von Reliefarbeiten
mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem
Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines
Verkleinerungs- beziehungsweise Vergroesserungsmaassstabes zu thun haben.

Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des
Kreises hoechst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem
inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein duerften, so ist doch
gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das
Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann
schon eine ziemliche Selbststaendigkeit erreicht haben musste, als die
vorerwaehnte Anwendung von Proportionalmaassstaeben in Uebung kam.

Andererseits musste das oeftere Betrachten der regelmaessigen Figuren einen
geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter
Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz
von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus
der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und
huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim
Ausspruche des erwaehnten, fuer uns freilich hoechst einfach klingenden
Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete
Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden
Geraden in lauter untereinander gleiche Haelften getheilt zu werden.

Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frueher citirte
selbstgefaellige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer
ungerechtfertigten Unterschaetzung aegyptischer Constructionsgewandtheit
bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe koennte allenfalls jenes
Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im
Alterthume Maenner geben mochte, die ihre Beruehmtheit vorzugsweise und oft
nur der Hochschaetzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken
gezollt, Maenner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so
unermuedlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein
Kreis von Glaeubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fuessen
einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fuehrten, so ist doch die
Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen
Quellen entspringende Aussprueche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem
einfallen wird, seine Autoritaet als die eines gruendlichen Kenners der
Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den
geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz
allgemein klingenden Titel erhalten.

Waehrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der
Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes
Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* "ueber Geometrie", "ueber Zahlen",
"ueber den Unterschied des Gnomon oder ueber die Beruehrung des Kreises und
der Kugel", sowie zwei Buecher "ueber irrationale Linien und die dichten
Dinge" geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ueber ihren
Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefuehrten Zeugnissen
Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so muessen
wir von *Demokritos* als von einem "in der Geometrie vollkommenen Manne"
voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher
ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen
vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der "Anlegung der
Flaechen", welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsaetzen aus der
Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der
Abhaengigkeit der Flaecheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen
voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras*
zugeschriebenen Constructionen der fuenf regelmaessigen, sogenannten
kosmischen Koerper sein, woraus sich weiter schliessen laesst, dass auch
einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Koerper
eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmaessigen,
jene Koerper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fuenfeckes dem
*Demokritos* nicht ungelaeufig sein konnten. Die Construction des Letzteren
erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese
den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch
selbst nichts Neues hinzugefuegt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er
nun anderseits sagt: "im Construiren haette ihn Niemand, selbst nicht die
Harpedonapten der Aegypter uebertroffen", so duerfen wir hieraus mit
Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen
Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos*
sonst kaum gerade ueber diese Geometer gesetzt haette.

Doch verlassen wir fuer jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums,
welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen
zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs,
aus denen vielleicht Schluesse gezogen werden koennten auf Wesen und Umfang
aegyptischer Geometrie.

Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse
des Englaenders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen
werthvollen Rollen in Aegypten kaeufllich an sich gebracht haben duerfte.
Der erwaehnte Papyrus, ein altes Denkmal aegyptischer Mathematik, ist, wie
es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein "mathematisches
Handbuch" der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus
nennt sich selbst eine Nachahmung aelterer mathematischer Schriften, denn
es heisst in der Einleitung: "Verfasst wurde diese Schrift im Jahre
dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Koenig Ra-a-us, Leben
gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Koenigs ...at vom
Schreiber Aahmes verfasst die Schrift."

Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch
einen kurzen vorlaeufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der
Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr.
*Eisenlohr* einer eingehenden, hoechst schwierigen und zeitraubenden
Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft,
unseren gegenwaertigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezueglich des Alters
des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des
unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen
Vervollstaendigung der in der erwaehnten Einleitung auf das Wort Koenig
folgenden Luecke, wuerde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original
entstanden ist, der Koenig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit
*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us*
in den bis dahin vorhandenen Koenigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um
die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annaehernd angeben zu
koennen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die
Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen
Regenten zu gebrauchen, Schluesse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes*
des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus
vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein duerfte. Die
Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren
Forschungen zu Folge vollkommen bestaetigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der
Hyksoskoenig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* duerfte seinen Namen von dem,
kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Koenige *Amasis* entlehnt haben.

Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem
achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus,
welche lauten: "Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge,
aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstaenden", sowie die
Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an
welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst,
konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es
vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand
jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in
gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren
Loesungen und den zugehoerigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder
Lehrsaetze und Beweise vorkommen wuerden, liess den Papyrus wiederum als
eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fuer Praktiker erscheinen.
Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe
bei Abfassung dieser Schrift vorzueglich an Landleute, welchen die Theorie
unzugaenglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des
groessten Theiles der Aufgaben, welche Verhaeltnisse und Beduerfnisse der
Landwirthschaft beruecksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus,
welcher sagt: "Fange das Ungeziefer und die Maeuse, (vertilge) das
verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Waerme, Wind und hohes
Wasser".

Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte
der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen muesste, zu thun
haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an
Definitionen, Lehrsaetzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklaerung,
sondern auch aus dem Umstaende, dass neben der richtigen Loesung einzelner
Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Loesungen derselben oder
aehnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei
verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens
Anklaenge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die
Astronomie, zu finden sein muessten. Doch ist von diesem Theile der
Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklaerungen
ueber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele
Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ueber die Entstehung der uns
beschaeftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzoesischen
Aegyptologen Eugene *Revillout*.(32)

Bei richtiger Erwaegung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos geloestes
Beispiel, falsche Loesungen aehnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann
gewoehnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die
einem Schulpensum in hohem Grade aehnlich sehen, bei Betrachtung der
Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und
zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe
als die berechneten Resultate erscheinen, draengt sich uns mit *Eugene
Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder
Aufgabenhefte eines Zoeglings jener Unterrichtshaeuser (a.sbo) zu thun
haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwaehnung geschieht, und in denen
die Schueler, welche spaeter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder
Constructeure werden wollten, mit den fuer ihre kuenftige Laufbahn
notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses
Schulheft selbstverstaendlich nicht fuer die Oeffentlichkeit bestimmt sein
konnte, so traegt es auch thatsaechlich keinen Autornamen und keine
Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezueglich der Zeitperiode,
in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwaehnung
betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem
Abschreiber *Aahmes* herruehrt, welcher das Original einige Jahrhunderte
nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz
unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufuegend.
Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen
Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des
ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen
haben mochte, so koennen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des
dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das
Original der Abschrift entstanden sein duerfte. Ob *Aahmes* die Abschrift
mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und
gottesfuerchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an
irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen,
lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit
der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der
Mathematik herruehrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglueckten
Uebungen eines Schuelers enthaelt, eines Schuelers ueberdies, der nicht zu den
hervorragenden seiner Glasse gehoert haben mochte. Und wie kostbar ist
dennoch dieses altaegyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze
seines Inhaltes vorfuehren sollen, so muessen wir zunaechst die sich auf acht
Columnen der oben erwaehnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2
durch die Zahlen von 3 bis 99 erwaehnen; jeder auftretende Bruch erscheint
in zwei bis vier sogenannte Stammbrueche, Brueche mit dem Zaehler Eins,
zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer
groesseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs
Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen
l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf
in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergaenzungsrechnung, in
welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen
Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene
Zahlenwerthe liefern. Die naechsten 15 Beispiele gehoeren der sogenannten
*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Loesungen
linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten
*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehoerige Beispiele belehren uns
darueber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht
fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ueber Volumetrie, ebensoviele
ueber Geometrie und fuenf Beispiele ueber Berechnungen von Pyramiden, also 19
Aufgaben ueber die wir spaeter noch einige Worte sagen muessen.

Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien
entlehnte, Fragen des buergerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die
Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstaenden, abermals Vertheilungen von
Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden
Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitsloehnen,
Nahrungsmitteln sowie des Futters fuer Gefluegelhoefe. Einer besonderen
Ankuendigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei
Beispiele; das eine derselben(33) laesst keinen Zweifel darueber aufkommen,
dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen
vollkommen gelaeufig war, waehrend wir in dem zweiten(34) unter der
Aufschrift "eine Leiter" die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7
hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene
Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fuehren scheinen.

Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende
Benuetzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts
ausschreitender Beine fuer Addition und Subtraction, drei horizontale
Pfeile fuer Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht
unaehnliches Gleichheitszeichen.

Aus dem geometrischen Theile heben wir zunaechst, der Anordnung des Papyrus
nicht folgend, die Flaechenberechnungen von Feldern hervor. Die
vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige,
kreisrunde und trapezfoermige Felder, deren Flaecheninhalte aus ihren
Laengenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ueber die Berechnung
des Fassungsvermoegens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflaeche
diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite
mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die
Flaeche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier
zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der
Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen
involvirt.

Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstaebe, wie wir sie im Grabe
*Belzoni* bemerken konnten, haette die alten Aegypter, die mit Gleichungen
und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flaeche
eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlaengen mit Nothwendigkeit fuehren
muessen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der
diesbezueglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehoerige Loesung beigefuegt ist,
durchaus nicht beirren lassen.

Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende
Methode der Flaechenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten
Aegypter mit ziemlicher Annaeherung den Kreis zu quadriren wussten, in der
That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Laenge ableiten,
welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flaeche jener des Kreises
gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes
Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl,
welcher dem richtigen Werthe gegenueber um nicht ganz zwei Hundertstel (um
0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fuer das dritte Jahrtausend
v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch
mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spaeterer roemischer Geometer,
jedenfalls eine nicht zu unterschaetzende Annaeherung an den richtigen
Werth.

Eine Aufgabe behandelt die Flaechenbestimmung des Dreieckes, wobei das
Resultat als das Product zweier Seitenlaengen gefunden wird. Die hier
beigefuegte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges
langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte
Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes
betrachtet werden.

Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36)
acceptirt worden. Darnach wuerde sich die Methode der Dreiecksberechnung
der alten Aegypter nur als eine Naeherungsmethode darstellen, und ist auch
von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That
nicht bedeutende Fehler ermittelt worden.

Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung.

Mit Ruecksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des
Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen
ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmaessigkeit
seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen
Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck
vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schuelerzeichnung ist durch den
Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges
Dreieck gemeint sein soll, erkennt man uebrigens auch aus dem Umstande,
dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den
Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels
angesetzt sind, wo doch, wenn es sich haette um ein gleichschenkliges
Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei
beiden Schenkeln zu finden waere. Dieselben Gruende bestimmen uns zu der
Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flaechenberechnung eines Trapezes
eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez
handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen
Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht
die richtige Art der Flaechenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt
haben?

Konnte man einmal die Flaeche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste
sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten
Rechteckes, von selbst die Regel zur Flaechenbestimmung des rechtwinkligen
Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck
durch ein Hoehenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts
leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflaeche aus
Basis und Hoehe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des
Hoehenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den
alten Aegyptern nicht unmoeglich war, folgt zunaechst aus der grossen
Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fuer alle Operationen der praktischen
Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten
das Winkelmaass erwaehnt finden, sieht man auch Koenige abgebildet, das
Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise
durch symbolische Benuetzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China
alljaehrlich einmal den Pflug zu fuehren pflegt. Ein solches Winkelmaass
sieht man uebrigens auch auf einem Wandgemaelde abgebildet, das eine
Schreinerwerkstaette darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass
dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Faellen von
Senkrechten benuetzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den
Aegyptern die Construction rechter Winkel gelaeufig sein; sowohl die
Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und
wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in
festlicher Weise vom Koenige unter Beihilfe der Bibliotheksgoettin *Safech*
vollzogen, mit den Worten: "Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel
des Schlaegels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Goettin
*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem
Sternbilde des grossen Baeren angekommen ist, und erfuellt ist der mir
bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte
Deines Gotteshauses."

In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so
hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat
*Cantor*(39) in hoechst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es
erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim
Construiren rechter Winkel sowie beim Faellen von Senkrechten auf dem
Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die
Seitenlaengen drei, vier und fuenf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel
sein muesse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch
den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so beruehmten
Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G.
entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G.
etwa zurueckgefuehrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an
diagonalen Linien in den Proportionalmaassstaeben sowohl zu dem erwaehnten
als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen
Seitenlaengen gefuehrt haben, und scheint uns die Moeglichkeit nicht
ausgeschlossen, dass der beruehmte und beruechtigte Satz des *Pythagoras*
ueber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden
Untersuchung solcher Proportionalmaassstaebe entsprungen ist.

Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die
Flaeche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen
sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch
die Flaechen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande
waren, mit Ausnahme der auch fuer uns eine solche bildenden Kreisflaeche, so
muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen
Anwendungen mit Naeherungen begnuegte, welche im Laufe der Zeiten so
ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde.

Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt
*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau
aus den Zeiten der Ptolomaeer. Der Tempel, hauptsaechlich dem Gotte *Horus*
geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren
Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem oestlichen Pylonfluegel eine
Inschrift traegt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig
Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Koenigs *Ptolomaeus XI. Alexander
I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches
hier *Horus* und den uebrigen Goettern von *Edfu* verliehen wird, besteht
aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlaengen
nebst Flaecheninhalten angegeben erscheinen.

Da jeder der vorkommenden Flaecheninhalte identisch ist mit dem Producte
der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach
*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter haetten, um
Vierecke bei der Flaechenbestimmung annaehernd wie Rechtecke behandeln zu
koennen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht,
dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen.

Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden
Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder
verhaeltnissmaessig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom
Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen
Resultate somit eine ziemliche Annaeherung an den richtigen Flaechenwerth
darstellen duerften, nach dem man mit Ruecksicht auf die bei *Sesostris*
bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade
diese oder eine ihr zunaechst kommende Form der Felder sei die auch damals
schon beliebte gewesen.

Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Laengenunterschied der Gegenseiten
ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit
einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in
manchen Faellen ein nicht unbedeutender ist.

Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flaechenformel fuer
das Viereck erhaelt, wenn man dasselbe zunaechst durch eine Diagonale in
zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige
Flaechenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten
liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflaechen addirt und
dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem aehnlichen Vorgange
durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhaelt, das arithmetische
Mittel construirt.

Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die
Dreiecksflaeche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten,
so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flaechen der
in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt
erscheinen?

Uebrigens wolle man sich darueber nicht wundern, dass es ueberhaupt moeglich
war, die Flaechenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen
Methode durchzufuehren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit
*Platon*s, einer der gebildetsten Maenner, einer der hervorragendsten
Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der
Beziehung zwischen Flaecheninhalt und Umfang, die Flaeche einer Insel nach
der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der
Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden
wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flaeche eines gleichschenkligen Dreieckes
durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch
schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frueher die richtige Formel
fuer diese Berechnung kennt.

Wir beruehren diese Thatsachen, und koennten noch eine ganze Reihe aehnlicher
Beispiele anfuehren, nur um zu zeigen, wie uebereilt es waere, aus den oft
nur schwache Annaeherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er
Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den
in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt
gewesen.

Doch zurueck zum Papyrus *Rhind*.

Wir uebergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthaeusern, bei denen der
Inhalt durch Multiplication einer Flaeche mit einer Laenge bestimmt wird,
weil wir es fuer muessig halten, Eroerterungen darueber anzustellen, welche
Flaechen und Laengen hiebei gemeint sind, so lange uns ueber die Form jener
Fruchthaeuser oder Speicher nichts bekannt ist.

Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das
hoechste Interesse, besonders nach den glaenzenden Untersuchungen, welchen
*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir,
entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46)
acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und
natuerlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter
beleuchten.

Es wird in diesen Rechnungen die Boeschung der Seitenflaechen einer
quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Laenge eines
der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der
sich zur Laenge des anderen Schenkels so verhaelt, wie die halbe Laenge der
Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hoehe derselben.

Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine
gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, waehrend der andere
Schenkel, der Pyramidenhoehe entsprechend, und als Einheit betrachtet,
ungetheilt blieb.

Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Laenge der
Basisseite durch die Pyramidenhoehe dividirt und mit dem erhaltenen
Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels
des Winkelmaasses multiplicirt.

Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fuer einen geraden
Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hoehe bestimmt erscheint)
als Verhaeltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des
Neigungswinkels der Seitenflaeche der Pyramide, respective der Kegelkante
zur Basis.

Wenn wir selbstverstaendlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht
Anfaenge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch
anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien,
wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und
erscheint uns auch der am Eingange erwaehnte Ausspruch ueber die dem
Milesier *Thales* zugeschriebene Hoehenmessung der Pyramiden als ein ganz
glaubwuerdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis,
Hoehe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint.

Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so muessen
wir aus der quellenmaessig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die
ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen
Geometern rueckhaltlos zollten, wir muessen aus der unanfechtbaren
Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und
Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir muessen im Hinblicke auf
das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich
mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen
der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem oeffentlichen
Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhaeltnissmaessig
bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir muessen endlich aus
dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift
eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden,
mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen
Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den
Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbuecher schliessen laesst, wir
koennen und muessen aus allen diesen Umstaenden den allgemeinen Schluss
ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die
arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen
fuer dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen.

Insbesondere koennen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth
weitgehende Annaeherung bei der Berechnung der Kreisflaeche beobachten, wir
finden mit vollstaendiger Sicherheit richtige Flaechenbestimmungen des
Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hoechst
wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flaechen schiefwinkliger
Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu
handhabende Annaeherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des
Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Koerper und erkennen die
Anfaenge der Aehnlichkeitslehre.

Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die
Construction der frueher beobachteten regelmaessigen Figuren und duerfen
weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Faellen von
Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler
rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flaechen
behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war.

Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die
Haelftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der
besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der
Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer
Pyramiden, und wohl noch manches Andere.

Moege es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der,
noch ihrer Erklaerung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen
letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer
Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, moege es so
gelingen noch weitere Anhaltspunkte fuer die Kenntniss der mathematischen
Thaetigkeit des uns bekannten aeltesten Culturvolkes, der Aegypter zu
gewinnen!

Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der
Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit
erscheint!





   1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109.

   2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9.

_    3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246.

   4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1.

   5 DIODOR, I, 69.

   6 Herodot l. c.

_    7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p.
     138.

   8 DIODOR,  I, 81.

   9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098.

_   10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L.
     Spengel. Berlin 1870.

_   11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37.

  12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11.

  13 STRABON, XIV, 1. 16.

  14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3.

  15 DIODOR, I, c. 96.

  16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157.

  17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17.

  18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174.

  19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25.

  20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. edit. t. I, p. 49.

  21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11.
     Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ueber
     Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken
     entnommen.

  22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357.

  23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272.

  24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'apres les monuments._

  25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p.
     313.

  26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20.

  27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47.

  28 CANTOR, _Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159
     (Leipzig 1880).

  29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877.

  30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fuer aegypt. Sprache und Alterthum_,
     1868, p. 108.

  31 LEPSIUS, _aegypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63.

  32 REVILLOUT, EUGENE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p.
     304.

  33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64.

  34 ibid. Nr. 79.

  35 ibid. p. 125.

  36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49.

  37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144.

  38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift
     fuer aegypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.)

  39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55.

  40 ED. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593.

  41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von
     __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69.

  42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884.

  43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1.

  44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460.

_   45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_
     (ed. Hultsch, Berlin 1864).

  46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Laenge
     in dem "math. Handbuche" von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. aeg. Sp._
     1884. 1. Heft.)






***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.***



CREDITS


March 13, 2008

           Project Gutenberg TEI edition 01
     *      R. Stephan*



A WORD FROM PROJECT GUTENBERG


This file should be named 24817.txt or 24817.zip.

This and all associated files of various formats will be found in:


   http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/


Updated editions will replace the previous one -- the old editions will be
renamed.

Creating the works from public domain print editions means that no one
owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and
you!) can copy and distribute it in the United States without permission
and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the
General Terms of Use part of this license, apply to copying and
distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works to protect the Project
Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} concept and trademark. Project Gutenberg is a registered
trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you
receive specific permission. If you do not charge anything for copies of
this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook
for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports,
performances and research. They may be modified and printed and given away
-- you may do practically *anything* with public domain eBooks.
Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial
redistribution.



THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE


*Please read this before you distribute or use this work.*

To protect the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of promoting the free
distribution of electronic works, by using or distributing this work (or
any other work associated in any way with the phrase Project Gutenberg),
you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
License (available with this file or online at
http://www.gutenberg.org/license).


Section 1.


General Terms of Use & Redistributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works


1.A.


By reading or using any part of this Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work,
you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the
terms of this license and intellectual property (trademark/copyright)
agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this
agreement, you must cease using and return or destroy all copies of
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in your possession. If you paid a fee
for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work
and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may
obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set
forth in paragraph 1.E.8.


1.B.


Project Gutenberg is a registered trademark. It may only be used on or
associated in any way with an electronic work by people who agree to be
bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can
do with most Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works even without complying
with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are
a lot of things you can do with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works if you
follow the terms of this agreement and help preserve free future access to
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. See paragraph 1.E below.


1.C.


The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (the Foundation or
PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. Nearly all the individual works in the
collection are in the public domain in the United States. If an individual
work is in the public domain in the United States and you are located in
the United States, we do not claim a right to prevent you from copying,
distributing, performing, displaying or creating derivative works based on
the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of
course, we hope that you will support the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of
promoting free access to electronic works by freely sharing Project
Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works in compliance with the terms of this agreement for
keeping the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} name associated with the work. You can
easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the
same format with its attached full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License when you
share it without charge with others.


1.D.


The copyright laws of the place where you are located also govern what you
can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant
state of change. If you are outside the United States, check the laws of
your country in addition to the terms of this agreement before
downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating
derivative works based on this work or any other Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work.
The Foundation makes no representations concerning the copyright status of
any work in any country outside the United States.


1.E.


Unless you have removed all references to Project Gutenberg:


1.E.1.


The following sentence, with active links to, or other immediate access
to, the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License must appear prominently whenever
any copy of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work (any work on which the phrase
Project Gutenberg appears, or with which the phrase Project Gutenberg is
associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or
distributed:


   This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
   almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away
   or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License
   included with this eBook or online at http://www.gutenberg.org


1.E.2.


If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is derived from the
public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with
permission of the copyright holder), the work can be copied and
distributed to anyone in the United States without paying any fees or
charges. If you are redistributing or providing access to a work with the
phrase Project Gutenberg associated with or appearing on the work, you
must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7
or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9.


1.E.3.


If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is posted with the
permission of the copyright holder, your use and distribution must comply
with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed
by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project
Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License for all works posted with the permission of the
copyright holder found at the beginning of this work.


1.E.4.


Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License
terms from this work, or any files containing a part of this work or any
other work associated with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}.


1.E.5.


Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic
work, or any part of this electronic work, without prominently displaying
the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate
access to the full terms of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License.


1.E.6.


You may convert to and distribute this work in any binary, compressed,
marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word
processing or hypertext form. However, if you provide access to or
distribute copies of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work in a format other than
Plain Vanilla ASCII or other format used in the official version posted on
the official Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} web site (http://www.gutenberg.org), you
must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a
means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of
the work in its original Plain Vanilla ASCII or other form. Any alternate
format must include the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License as specified in
paragraph 1.E.1.


1.E.7.


Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing,
copying or distributing any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works unless you comply
with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.


1.E.8.


You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or
distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works provided that

   - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
     the use of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works calculated using the method you
     already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to
     the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark, but he has agreed to
     donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg
     Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60
     days following each date on which you prepare (or are legally
     required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments
     should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg
     Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4,
     Information about donations to the Project Gutenberg Literary
     Archive Foundation.

     You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
     does not agree to the terms of the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License.
     You must require such a user to return or destroy all copies of the
     works possessed in a physical medium and discontinue all use of and
     all access to other copies of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works.

     You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of
     any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days of
     receipt of the work.

     You comply with all other terms of this agreement for free
     distribution of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works.


1.E.9.


If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic
work or group of works on different terms than are set forth in this
agreement, you must obtain permission in writing from both the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark. Contact the Foundation as set forth in
Section 3 below.


1.F.


1.F.1.


Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to
identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain
works in creating the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection. Despite these
efforts, Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, and the medium on which they
may be stored, may contain Defects, such as, but not limited to,
incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright
or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk
or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot
be read by your equipment.


1.F.2.


LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES -- Except for the Right of
Replacement or Refund described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for
damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE
NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH
OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE
FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL,
PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY
OF SUCH DAMAGE.


1.F.3.


LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND -- If you discover a defect in this
electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund
of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to
the person you received the work from. If you received the work on a
physical medium, you must return the medium with your written explanation.
The person or entity that provided you with the defective work may elect
to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the
work electronically, the person or entity providing it to you may choose
to give you a second opportunity to receive the work electronically in
lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a
refund in writing without further opportunities to fix the problem.


1.F.4.


Except for the limited right of replacement or refund set forth in
paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.


1.F.5.


Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the
exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or
limitation set forth in this agreement violates the law of the state
applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make
the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state
law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement
shall not void the remaining provisions.


1.F.6.


INDEMNITY -- You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark
owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in accordance with this agreement, and
any volunteers associated with the production, promotion and distribution
of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, harmless from all liability, costs
and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from
any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of
this or any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, (b) alteration, modification, or
additions or deletions to any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, and (c) any Defect
you cause.


Section  2.


          Information about the Mission of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}


Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} is synonymous with the free distribution of electronic
works in formats readable by the widest variety of computers including
obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the
efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks
of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance
they need, is critical to reaching Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}'s goals and ensuring
that the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection will remain freely available for
generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation was created to provide a secure and permanent future for
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} and future generations. To learn more about the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations
can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at
http://www.pglaf.org.


Section 3.


  Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation


The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of
Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service.
The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541.
Its 501(c)(3) letter is posted at
http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full
extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr.
S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North
1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
[email protected]. Email contact links and up to date contact information
can be found at the Foundation's web site and official page at
http://www.pglaf.org

For additional contact information:


   Dr. Gregory B. Newby
   Chief Executive and Director
   [email protected]


Section 4.


 Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive
                               Foundation


Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread
public support and donations to carry out its mission of increasing the
number of public domain and licensed works that can be freely distributed
in machine readable form accessible by the widest array of equipment
including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are
particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United States.
Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable
effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these
requirements. We do not solicit donations in locations where we have not
received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or
determine the status of compliance for any particular state visit
http://www.gutenberg.org/fundraising/donate

While we cannot and do not solicit contributions from states where we have
not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against
accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us
with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make any
statements concerning tax treatment of donations received from outside the
United States. U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods
and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including
checks, online payments and credit card donations. To donate, please
visit: http://www.gutenberg.org/fundraising/donate


Section 5.


     General Information About Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works.


Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
concept of a library of electronic works that could be freely shared with
anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
eBooks with only a loose network of volunteer support.

Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} eBooks are often created from several printed editions,
all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright
notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance
with any particular paper edition.

Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook's eBook
number, often in several formats including plain vanilla ASCII, compressed
(zipped), HTML and others.

Corrected *editions* of our eBooks replace the old file and take over the
old filename and etext number. The replaced older file is renamed.
*Versions* based on separate sources are treated as new eBooks receiving
new filenames and etext numbers.

Most people start at our Web site which has the main PG search facility:


   http://www.gutenberg.org


This Web site includes information about Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}, including how
to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation,
how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email
newsletter to hear about new eBooks.






***FINIS***


You are viewing proxied material from gopher.pglaf.org. The copyright of proxied material belongs to its original authors. Any comments or complaints in relation to proxied material should be directed to the original authors of the content concerned. Please see the disclaimer for more details.