\documentclass{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[garamond]{mathdesign}
\usepackage{pst-contourplot,pst-plot}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{framed}
\definecolor{Beige} {rgb}{0.93,0.93,0.85}
\renewcommand{\FrameCommand}{\fcolorbox{Beige}{Beige}}

\title{Ovales de Descartes}
\date{14 juin - 11 juillet 2018}
\author{[email protected]}
\begin{document}
\maketitle
Henri Bouasse (1866-1953) est l'auteur d'une s�rie d'ouvrages publi�s sous l'intitul� ``Biblioth�que scientifique de l'ing�nieur et du physicien'' � la librairie Delagrave � Paris entre les ann�es 1900 et 1934. Chaque livre, et parfois deux sont n�cessaires, traite d'un sujet particulier comme ``Gyroscopes et projectiles''(1923), ``Ph�nom�nes li�s � la sym�trie''(1931), ``Vision et reproduction des formes et des couleurs''(1917). Cet ensemble d'ouvrages constitue l'encyclop�die la plus compl�te de la physique classique qui ait jamais �t� publi�e. Chaque livre s'ouvre sur une pr�face d'Henri Bouasse dans laquelle celui-ci exprime ses id�es sur l'enseignement des sciences. Ses propos y sont d'une telle franchise qu'on peut dire qu'Henri Bouasse n'�tait pas un adepte de la langue de bois ! J'avais mis en ligne quelques extraits sur le site :

\centerline{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/bouasse/}}

o� vous pourrez lire l'opinion d'Henri Bouasse sur le t�l�phone dans le document :

\centerline{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/bouasse/disqueBouasse.pdf}}

Si on regroupait toutes ces pr�faces, on obtiendrait un volume d'un int�r�t certain par la qualit� de son �criture, la pertinence de ses remarques qui paraissent toujours tr�s actuelles, son humour et l'acidit� de ses observations.

Wikipedia donne la liste des ouvrages et le th�me des pr�faces :

\centerline{\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Bouasse}}

Deux ouvrages sont consacr�s aux math�matiques :
``Cours de Math�matiques g�n�rales''(1911) et, �crit avec �mile Turri�re, ``Exercices et compl�ments de math�matiques g�n�rales''(1920). C'est de ce dernier ouvrage que j'extrais quelques exemples des exercices sur les ovales de Descartes afin de les illustrer avec PSTricks\footnote{Sur internet, de nombreux sites traitent des ovales de Descartes d'une mani�re tr�s compl�te et avec de magnifiques illustrations comme :\newline
\centerline{\url{https://www.mathcurve.com/courbes2d/descartes/descartes.shtml}} et \newline
\centerline{\url{http://debart.pagesperso-orange.fr/geometrie/ovale.html}}}.
Le paragraphe �426 intitul� ``Ovales de Descartes'' d�bute ainsi (les auteurs prennent l'origine en $O_1$)~:

\begin{framed}
<<
Construire les courbes d'�quation bipolaire :
\[r_1+\alpha r_2=V
\]
On supposera $\alpha>0$ : on v�rifiera imm�diatement que sans diminuer la g�n�ralit� du probl�me on peut poser $\alpha >1$. On appellera $a$ la distance $\overline{O_1O_2}$ des p�les. Enfin on n'oubliera pas que les quantit�s $r_1$ et $r_2$ sont essentiellement positives.>>
\begin{center}
\begin{pspicture}[showgrid=false](-2,-3)(6,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
\pstVerb{/ai 2 def}%
\psset{unit=2,algebraic,a=0.1}
\psContourPlot[linecolor=red,function=sqrt(x^2+y^2)+2.25*sqrt((x-ai)^2+y^2)-4](-2,-3)(6,3)
\pnode(2.25,0.688055){M}\psdot(M)
\pnode(!ai 0){O2}\pnode(0,0){O1}
\psline(O1)(M)(O2)
\uput[ur](M){$M$}
\pcline[offset=5pt,linestyle=none]{}(O1)(M)
\ncput[nrot=:U]{$r_1$}
\pcline[offset=5pt,linestyle=none]{}(O2)(M)
\ncput[nrot=:U]{$r_2$}
\pcline[offset=-5pt,linestyle=none]{}(O1)(O2)
\ncput[nrot=:U]{$a$}
\psline{<->}(0,1.5)(0,0)(3,0)
\uput[d](0,0){$O_1$}
\uput[l](0,1.5){$y$}
\uput[u](3,0){$x$}
\psdots(!ai 0)(0,0)
\uput[d](!ai 0){$O_2$}
\psline[linecolor=blue](O1)(O2)
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{document}
<< Les p�les �tant donn�s, entre quelles limites $V$ peut-il varier ?
\newline
Montrer ques courbes sont ferm�es et ne peuvent rencontrer la droite $O_1O_2$ qu'en deux points.
\newline
Construire le faisceau pour une valeur donn�e de $\alpha$. >>
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(7,4)
\pstVerb{/ai 2 def
% macro de Dominique Rodriguez
% dans pst-eucl
%% x -> true (if |x| < 1E-6)
/ZeroEq { abs 1E-6 lt } bind def
%% x f g -> x y n
/NewtonSolving {
   3 dict begin
 /g exch def /f exch def 0
 { %%% STACK: x0 n
   1 add exch %% one more loop
   dup ZeroEq
   { dup 0.0005 add fgeval
     1 index 0.0005 sub fgeval sub .001 div }
   { dup 1.0005 mul fgeval
     1 index 0.9995 mul fgeval sub .001 2 index mul div } ifelse  %%% STACK: n x0 fg'(x0)
   %%% compute x1=x0-fg(x0)/fg'(x0)
   1 index fgeval exch div dup 4 1 roll sub exch %% stack: dx x0 n
   3 -1 roll ZeroEq              %% exit if root found
   1 index 100 eq or { exit } if %% or looping for more than 100 times
 } loop
 dup 100 lt { exch dup /x exch def f } { pop 0 0 } ifelse
 3 -1 roll
 end
} def
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
/fgeval { /x exch def f g sub } bind def
0.2 { (sqrt(2.4^2+x^2)+2*sqrt((2.4-ai)^2+x^2)-4.6) AlgParser cvx exec } {0} NewtonSolving pop pop /y0 exch def
0.2 { (sqrt(1.5^2+x^2)+2*sqrt((1.5-ai)^2+x^2)-4.6) AlgParser cvx exec } {0} NewtonSolving pop pop /y1 exch def
0.2 { (sqrt(1.5^2+x^2)+2*sqrt((1.5-ai)^2+x^2)-3.8) AlgParser cvx exec } {0} NewtonSolving pop pop /y2 exch def
0.2 { (sqrt(1.5^2+x^2)+2*sqrt((1.5-ai)^2+x^2)-3.0) AlgParser cvx exec } {0} NewtonSolving pop pop /y3 exch def}
%
\psset{unit=2,a=0.05}% ncell=200 80,algebraic
% function=sqrt(x^2+y^2)+2*sqrt((x-ai)^2+y^2)-\nV
\multido{\nV=3.0+0.8}{3}{%
\psContourPlot[function= x dup mul y dup mul add sqrt
                        2 x ai sub dup mul y dup mul add sqrt mul add
                       \nV\space sub](-2,-3)(6,3)}
\psline{<->}(0,2)(0,0)(3.5,0)
\uput[d](0,0){$O_1$}
\uput[l](0,1.9){$y$}
\uput[u](3.5,0){$x$}
\pnode(!ai 0){O2}\pnode(0,0){O1}
\uput[d](!ai 0){$O_2$}
\pnode(!2.4 y0){A}\psdots(A)(O1)(O2)\uput[ur](A){$A$}
\psline(O1)(A)(O2)
\pnode(!1.5 y1){V1}\pnode(!1.5 y2){V2}\pnode(!1.5 y3){V3}
\uput[u](V1){$V=4.6$}\uput[u](V2){$V=3.8$}\uput[u](V3){$V=3.0$}
\end{pspicture}

Ovales de Descartes pour $r_1+2r_2=V$.
\end{center}
\end{framed}

Cette figure est une reproduction de celle du livre.

Le faisceau suivant est obtenu en faisant varier $\alpha$, pour $V=4$
\begin{center}
\begin{pspicture}[showgrid=false](-4,-5)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
\pstVerb{/ai 2 def}
\psset{unit=2,a=0.1}%,algebraic
\multido{\n=3.50+-0.25}{12}{%
% function=sqrt(x^2+y^2)+\n*sqrt((x-ai)^2+y^2)-4
\ifnum\multidocount=11\psset{linecolor=red}\else\psset{linecolor=blue}\fi%
\psContourPlot[function=x dup mul y dup mul add sqrt
                       \n\space x ai sub dup mul y dup mul add sqrt mul add
                       4 sub](-2,-3)(6,3)}
\psline{<->}(0,2.5)(0,0)(4,0)
\uput[d](0,0){$O_1$}
\uput[l](0,2.4){$y$}
\uput[u](3.9,0){$x$}
\psdots(!ai 0)(0,0)
\uput[d](!ai 0){$O_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
Apr�s un paragraphe sur les ``Applications des ovales de Descartes en optique'', Henri Bouasse et �mile Turri�re reviennent aux ovales dans  un nouveau paragraphe intitul� encore ``Ovales de Descartes', avec la d�finition suivante :
\begin{framed}
<<
\[ -r_1+\alpha r_2=V\]
On peut supposer encore que $\alpha \geq 1 $, le signe de $V$ restant arbitraire.

Montrer que pour toutes les valeurs de $\alpha>1$, les courbes du faisceau ne peuvent avoir de points � l'infini. Ce sont encore des ovales, comme dans le premier cas.

Le cas $\alpha=1$ est exceptionnel. On retrouve le faisceau d'hyperboles d�j� rencontr� (� 423).
\end{framed}

Dans le paragraphe suivant (�429) les auteurs �tablissent l'�quation cart�sienne \textit{enti�re} des ovales et traitent les particuliers des lima�ons de Pascal. Le paragraphe (�430) est consacr� aux ovales de Cassini et le suivant(�431) aux courbes orthogonales des ovales de Cassini.

\begin{framed}
Lieu des points tels que le produit de leurs distances � deux points fixes $O_1$ et $O_2$ soit constant.

Soit $2a$ la distance $\overline{O_1O_2}$.

On trouve imm�diatement pour �quation des ovales :
\[
r_1r_2=k^2, \qquad (a^2+x^2+y^2)^2-4a^2x^2=k^4
\]
Pour que l'origine appartienne � une courbe du faisceau, il faut �videmment poser : $k^2=a^2$. L'�quation devient :
\[
(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)
\]
C'est la lemniscate de Bernouilli.
\end{framed}

\begin{center}
\begin{pspicture}[showgrid=false](-4,-4)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
\pstVerb{/ai 2 def}
\psset{unit=1,a=0.1}% ,algebraic
% (ai^2+x^2+y^2)^2-4*ai^2*x^2-(\nk)^4
\multido{\nk=3.50+-0.25}{10}{%
\ifnum\multidocount=7\psset{linecolor=red}\else\psset{linecolor=blue}\fi%
\psContourPlot[function=ai dup mul x dup mul add y dup mul add dup mul
                       4 ai x mul dup mul mul sub \nk\space 4 exp sub](-6,-3)(6,3)}
\psline{<->}(0,4)(0,0)(5,0)
\uput[d](0,0){$O_1$}
\uput[l](0,4){$y$}
\uput[u](5,0){$x$}
\psdots(!ai 0)(0,0)
\uput[d](!ai 0){$O_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

You are viewing proxied material from ftp.icm.edu.pl. The copyright of proxied material belongs to its original authors. Any comments or complaints in relation to proxied material should be directed to the original authors of the content concerned. Please see the disclaimer for more details.